Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点A(

π

6

，

2

)，其中ω=

1

2

(tan15°+cot15°)φ∈(0，

π

2

)
（1）求φ、ω的值．
（2）求函数f（x）的最大值及最大值时x的取值集合．．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数关系式把tan15°和cot15°化为正弦和余弦，就可求出ω的值，再把点A（

π

6

，

2

）
代入函数f（x）=2sin（ωx+φ）中求出φ值．
（2）把2x+

5π

12

看做一个整体，当这个整体等于

π

2

+2kπ时，函数有最大值，且最大值等于 2，再求出此时x的取值范围即可．

解答：答案：（1）∵ω=

1

2

(tan15°+cot15°)=

1

2

(

sin15°

cos15°

+

cos15°

sin15°

)
=

sin215°+cos215°

2sin15°cos15°

=

1

sin30°

=2
∴函数f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（2x+φ）
∵函数f（x）的图象过点A（

π

6

，

2

）
∴

2

=2sin（2×

π

6

+φ），
∴

2

=2sin（

π

3

+φ），
∴sin（

π

3

+φ）=

2

2

，
∴

π

3

+φ=

π

4

+2kπ，k∈Z，或

π

3

+φ=

3π

4

+2kπ，k∈Z
∴φ=-

π

12

+2kπ，k∈Z，或φ=

5π

12

+2kπ，k∈Z，
∵φ∈（0，

π

2

），∴φ=

5π

12

∴ω=2，?=

5π

12

（2）由（1）知函数f（x）=2sin（2x+

5π

12

）
∴当2x+

5π

12

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=kπ+

π

24

，k∈Z时，函数f（x）有最大值，且最大值为2．
此时x的取值集合为{x|x=kπ+

π

24

，k∈Z}

点评：本题主要考查根据三角函数的性质求解析式，以及三角函数的最大值的求法，做题时要借助于基本正弦函数的性质．