Question

【题目】对于集合，，，，定义.

集合中的元素个数记为，当，称集合具有性质.

（1）已知集合，，写出，的值，并判断集合是否具有性质；

（2）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；

（3）若数列是以为首项，2为公比的等比数列. 数列中的前100项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性质；（2）中的三个元素不能构成等差数列，见解析；（3）2816

【解析】

(1)根据定义分别计算和,再判断集合是否具有性质即可.

(2)根据集合具有性质可知中的元素应是：这6个元素应该互不相等. 再根据等差数列的性质判定矛盾即可.

(3)易得,进而可得,再根据指数的运算可推导出当时,,且,进而将集合中的所有元素进行排序,再求即可.

（1）因为,,所以根据题目中的定义可知,,

所以,,

又,而,所以集合不具有性质.

（2）集合中的三个元素不能组成等差数列,理由如下：因为集合具有性质,所以,

由题中所给的定义可知：中的元素应是：这6个元素应该互不相等.

假设中的三个元素能构成等差数列,

若为等差中项,则,而均为其中的元素,这与集合中的6个元素互不相等矛盾；

若或为等差中项,同理,矛盾.

故中的三个元素不能构成等差数列.

（3）因为数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以.

则,因为是单调递增数列,

若,即,即,则,

又,所当时,,且.

故根据定义将集合中的所有元素从小到大排序为：

所以小于等于的元素个数为：,

当时,即小于等于的数共有91个数,显然不到100个数,所以第100个数为.

因此.