Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，其中a＞0
（1）若方程f（x）+2x=0有两个实根x₁=1，x₂=3，且方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（-3，0）B（m，0）两点，且当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得出x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根列出关于a，b的等式再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实根得到：△=0求得a值，从而得到f（x）的解析式；
（2）问题转化为只需[-1，0]?[-3，m]成立即可．

解答 解：（1）∵方程f（x）+2x=0有两个实根x₁=1，x₂=3，
∴x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＞0）的两根
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a}=-4}\\{\frac{c}{a}=3}\end{array}\right.$，∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
∴△=b²-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）²-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴a=-$\frac{1}{5}$（舍）或a=1，
∴a=1，b=-6，c=3，
∴f（x）=x²-6x+3；
（2）∵f（x）的图象与x轴交于A（-3，0）B（m，0）两点，
当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，
只需[-1，0]?[-3，m]，
∴m≥0．

点评 本小题主要考查函数的最值及其几何意义、函数与方程的综合运用，考查运算求解能力，与转化思想．属于基础题