Question

2．已知方程x₁+x₂+x₃+x₄=100，求：
（1）这个方程的正整数解的组数；
（2）这个方程的非负整数解的组数；
（3）满足x_i≥i，（i=1，2，3，4）的整数解的组数．
（注：不要求算出具体值，只列出式子即可）

Answer 1

分析 （1）根据题意，将原问题转化为20个小球的分组问题：假设有20个完全相同的小球，将其排成一列，利用挡板法将其分成4组，四个小组的小球数目分别对应x₁、x₂、x₃、x₄，由组合数公式计算即可得答案；
（2）由（1）假设有104个完全相同的小球，将其排成一列，共有103个空位，可得方程的非负整数解的组数；
（3）分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）假设有100个完全相同的小球，将其排成一列，共有99个空位，
在其中选3个，插入挡板，即可将100个小球分成4组，有C₉₉³种分组方法；
第一组小球的数目是x₁，第二组小球的数目是x₂，第三组小球的数目是x₃，第四组小球的数目是x₄，
则方程的正整数解的组数就是C₉₉³；
（2）由（1）假设有104个完全相同的小球，将其排成一列，共有103个空位，方程的非负整数解的组数是C₁₀₃³；
（3）x₁+x₂=3 （1组） x₃+x₄=97 （91组）
x₁+x₂=4 （2组） x₃+x₄=96 （90组）
x₁+x₂=5 （3组） x₃+x₄=95 （89组）
…
x₁+x₂=93 （91组） x₃+x₄=7 （1组）
总组数=1×91+2×90+3×89+…+91×1=129766．

点评 本题考查排列、组合的应用，关键在于将原问题进行转化，进而运用挡板法求解．