Question

13．某高中在一次数学考试中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示

组号	分组	频数	频率
第1组	[75，90]	5	0.05
第2组	（90，105]	①	0.35
第3组	（105，120]	30	②
第4组	（120，135]	20	0.20
第5组	（135，150]	10	0.10
合计		100	1.00

（Ⅰ）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生参加数学竞赛，学校决定在成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行抽查，求第4组至少有一名学生被抽查的概率？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出频率分布表中①、②位置相应的数据．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，由此能求出利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取的人数．
（Ⅲ）利用列举法求出从六位同学中抽两位同学的基本事件总数和第4组的2位同学为b至少有一位同学入选包含的基本事件个数，由此能求出第4组至少有一名学生被抽查的概率．

解答 解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人   …（1分）
第3组的频率为$\frac{30}{100}=0.30$…（2分）
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：$\frac{30}{60}×6=3$人…（3分）
第4组：$\frac{20}{60}×6=2$人…（4分）
第5组：$\frac{10}{60}×6=1$人
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人 …（5分）
（Ⅲ）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的l位同学为C₁
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），
（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），…（8分）
其中第4组的2位同学为b至少有一位同学入选的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）9种可能 …（10分）
所以第4组至少有一名学生被抽查的概率为p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布表的应用，考查分层抽样的性质，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．