Question

3．（1）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}＞3$
（2）已知：△ABC的三条边分别为a，b，c．求证：$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）对分式分解，利用均值定理可得．
（2）构造函数f（x）=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$；只需判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）∵$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$
=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-3
∵a，b，c是全不相等的正实数，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-3
=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$-3＞6-3=3；
（2）令f（x）=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$；
由1+x递增，得f（x）在（0，+∞）为增函数，
∵a+b＞c，
∴f（a+b）＞f（c）
∴$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

点评 考查了均值定理和利用函数证明不等式．难点是函数的构造，应细心观察．