Question

8．判断函数奇偶性：f（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x）．

Answer 1

分析 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称，然后确定f（-x）与f（x）的关系，注意到$\sqrt{1{+x}^{2}}$-x与$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x互为倒数关系．

解答 解：函数的定义域为R，
f（-x）=lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$-x）=lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x）^-1=-lg（$\sqrt{1{+x}^{2}}$+x）=-f（x），
故该函数是奇函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质，属于基础题．定义域关于原点对称是奇偶函数的一个本质特征，定义法是其它方法的基础；用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，可化繁为简；图象关于原点或y轴对称是奇偶函数的几何特征；反之，函数的奇偶性又是函数图象对称性的代数描述，进而实现了数与形的辨证统一．