Question

17．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；
（2）①利用古典概型概率的计算方法，可得结论；
②X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）从小学、中学、大学中抽取的抽样比为$\frac{6}{21+14+7}$=$\frac{1}{7}$
∴从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．
（2）①从6所学校中任取的3所学校没有小学（记为事件B）的概率为P（B）=$\frac{1}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
②X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=$\frac{1}{20}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，P（X=3）=$\frac{1}{20}$

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

数学期望为EX=0×$\frac{1}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列考查求X的分布列和数学期望，属于中档题．