Question

在如图的直三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)求异面直线与所成的角的余弦值；

(3)求直线与平面所成角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明，进而用线面平行的判定定理即可证明；

（2）

（3）

【解析】

试题分析：因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5，

所以两两互相垂直，

如图以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴

建立空间直角标系，                                                     ……2分

则，，.

（1）设与的交点为，连接,则

则 

∴∥， ∵内，平面

∴∥平面 ；                                                  ……4分

（2）∵ ∴，

.                              ……6分

∴；

∴所求角的余弦值为 .                                             ……8分

（3）设平面的一个法向量，则有：

，解得，.                                    ……10分

设直线与平面所成角为. 则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.                 ……12分

（其它方法仿此酌情给分）

考点：本小题主要考查线面平行，异面直线所成的角和线面角.

点评：解决立体几何问题，可以用判定定理和性质定理，也可以建立空间直角坐标系用向量方法证明，但是用向量方法时，也要依据相应的判定定理和性质定理，定理中需要的条件要一一列举出来，一个也不能少.