Question

6．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，g（x）=[f（x）]²-2af（x）+3，且x∈[-1，1]．
（1）当a=1时，求g（x）的值域；
（2）用h（a）表示g（x）的最小值，写出h（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）a=1时，设f（x）=t，则g（x）=y=t²-2t+3=（t-1）²+2，g（x）的对称轴为t=1，即可求出g（x）的值域；
（2）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴．

解答 解：（1）由f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，x∈[-1，1]，则f（x）∈[$\frac{1}{3}$，3]．
a=1时，设f（x）=t，则g（x）=y=t²-2t+3=（t-1）²+2，g（x）的对称轴为t=1，
故有：g（x）的值域为[2，6]；
（2）设f（x）=t，则g（x）=y=t²-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当a≤$\frac{1}{3}$时，g（x）的最小值h（a）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$
②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③当$\frac{1}{3}＜a＜3$时，g（x）的最小值h（a）=3-a²
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a＜3}\\{12-6a，a≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．