Question

16．已知点A（a，b），设点A关于原点的对称点为A′，点A′关于直线y=x的对称点为A″，而点A″关于x轴的对称点为A′″，点A和A′″点的距离等于$\sqrt{2}$，点A和点A″的距离等于2，试求出点A的坐标．

Answer 1

分析 根据点的对称性分别求出对应点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：A（a，b），设点A关于原点的对称点为A′（-a，-b），
A′关于直线y=x的对称点为A″（-b，-a），
点A″关于x轴的对称点为A′″（-b，a），
点A和A′″点的距离等于$\sqrt{2}$，即|AA′″|=$\sqrt{（-b-a）^{2}+（b-a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}+2{b}^{2}}=\sqrt{2}$，
即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=1，a²+b²=1
则|AA″|=$\sqrt{（a+b）^{2}+（a+b）^{2}}$=$\sqrt{2}$|a+b|=2，
|a+b|=$\sqrt{2}$，
即a²+2ab+b²=2，
则2ab=1，
解得a=b=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查两点间距离公式的应用，根据点的对称关系是解决本题的关键．