Question

10．已知f（x）在（0，+∞）是增函数，又有f（f（x）+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{f（x）}$，求f（1）

Answer 1

分析 根据条件设f（x）=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：根据条件可知f（x）为反比例函数，设f（x）=$\frac{k}{x}$，
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴k＜0，
代入方程得f（$\frac{k}{x}$+$\frac{1}{x}$）=f（$\frac{k+1}{x}$）=$\frac{x}{k}$，
即$\frac{kx}{k+1}$=$\frac{x}{k}$，
即k²=k+1，即k²-k-1=0，
解得k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或k=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍），
即f（x）=$\frac{1-\sqrt{5}}{2x}$，则f（1）=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．