Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A-CDG的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA
∵PA⊥平面ABCD，DA⊆平面ABCD，∴PA⊥DA，
又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，
则△PAD中，GH平行且等于，
∵平行四边形ABCD中，FC平行且等于，
∴GH∥FC且GH=FC，四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，
∵FH?平面PAF，CG?平面PAF，
∴CG∥平面PAF，即G为PD中点时，CG∥平面PAF．
设点G到平面ABCD的距离为d，则
由G为PD中点且PA⊥平面ABCD，得d=，
又∵Rt△ACD面积为×1×1=
∴三棱锥A-CDG的体积V_A-CDG=V_G-CDA=S_△ACD×=．
分析：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，证出AC⊥DA．结合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DA，由线面垂直的判定定理，可得DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，可证出四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，所以CG∥平面PAF．设点G到平面ABCD的距离为d，得d=，结合Rt△ACD面积和锥体体积公式，可算出三棱锥A-CDG的体积．
点评：本题给出四棱锥，求证线面垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和锥体体积公式等知识，属于中档题．