Question

5．当x∈[-1，2]时，x³-x²-x＜m恒成立，则实数m的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 当x∈[-1，2]时，x³-x²-x＜m恒成立，即实数m大于左边函数的最大值，利用导数法可求．

解答 解：由题意，令f（x）=x³-x²-x，
∴f′（x）=3x²-2x-1，
令 f′（x）=3x²-2x-1=0，得x=1或x=-$\frac{1}{3}$，
当x∈（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（1，2）时 f′（x）＞0，当x∈（$-\frac{1}{3}，1$）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（-1，-$\frac{1}{3}$），（1，2）；减区间为（$-\frac{1}{3}，1$）．
∵f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，f（2）=2．
∴f（x）=x³-x²-x在x∈[-1，2]上的最大值为2．
∴实数m的取值范围是m＞2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，是中档题．