Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a _n+1=2ⁿ+2a_n，则a_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 通过将等式a _n+1=2ⁿ+2a_n两边同时除以2^n-1、化简可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，进而数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a _n+1=2ⁿ+2a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{1}{2}$n•2ⁿ=n•2^n-1，
故答案为：n•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．