Question

3．设f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义，建立方程，即可求a的值；
（2）利用导数，证明x＞0时，f′（x）＞0，即可证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$是R上的偶函数，
∴$\frac{{e}^{-2x}+{a}^{2}}{{e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$，
∴$\frac{1+{e}^{2x}{a}^{2}}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$，
∴a²=1，
∴a=±1；
（2）证明：f（x）=$\frac{{e}^{2x}+{a}^{2}}{{e}^{x}}$=e^x+e^-x，
∴f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．