Question

13．已知幂函数y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为减函数．
（1）求解析式；
（2）讨论h（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$（a，b∈k）的奇偶性；
（3）求满足（t+1）${\;}^{-\frac{n}{3}}$＜（3-2t）${\;}^{-\frac{n}{3}}$的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意和幂函数的性质，列出关于n的不等式，求出n的值代入解析式验证奇偶性；
（2）把f（x）的解析式代入F（x），然后分别讨论a≠0且b≠0时，a=0且b≠0时，a≠0且b=0时，a=b=0时，函数的奇偶性；
（3）把n=1代入函数解析式，根据幂函数的单调区间列出不等式组，求出t的取值范围．

解答 解：（1）根据题意得：n²-2n-3＜0，解得-1＜n＜3，
又n∈Z，则n=0或n=1或n=2，
当n=0时，n²-2n-3=-3，当n=1时，n²-2n-3=-4，当n=2时，n²-2n-3=-3，
∵幂函数y=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$为偶函数，
∴则n=1，即y=x^-4（x≠0）；
（2）由（1）得，h（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$=$\frac{a}{{x}^{2}}-b{x}^{3}$（x≠0），
∴当a=0，b≠0时，F（x）为奇函数，
当a≠0，b=0，时，F（x）为偶函数，
当a=b=0时，F（x）既是奇函数又是偶函数，
当a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
（3）由（1）得，n=1，
则（t+1）${\;}^{-\frac{n}{3}}$＜（3-2t）${\;}^{-\frac{n}{3}}$为$（t+1）^{-\frac{1}{3}}＜（3-2t）^{-\frac{1}{3}}$，
∵函数$y={x}^{-\frac{1}{3}}$在（-∞，0）、（0，+∞）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜3-2t＜t+1}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3-2t＜t+1＜0}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t+1＜0＜3-2t}\\{3-2t≠0}\\{t+1≠0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}＜t＜\frac{3}{2}$或t＜-1，
∴t的取值范围是{t|$\frac{2}{3}＜t＜\frac{3}{2}$或t＜-1}．

点评 本题考查了幂函数的单调性、奇偶性，以及分类讨论思想的应用，注意函数的定义域，根据幂函数的性质确定函数的解析式是解决本题的关键．