Question

4．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx（b为常数），若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值．

Answer 1

分析 由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别式为0，求解即可．

解答 解：f（x）=lnx得f′（x）=$\frac{1}{x}$，
函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，
切线方程为：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x-1代入得x-1=$\frac{1}{2}$x²-bx，
即$\frac{1}{2}$x²-（b+1）x+1=0，
∴△=（b+1）²-2=0，解得b=±$\sqrt{2}$-1，
即实数b的值为±$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线和抛物线相切的条件，属于中档题．