Question

12．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y+1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x+y≤0}\end{array}\right.$，则（x-1）²+y²的取值范围[$\frac{1}{2}$，10]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用（x-1）²+y²的几何意义，即可行域内的动点到定点P（1，0）距离的平方得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y+1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x+y≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（-2，-1），
（x-1）²+y²的几何意义为可行域内的动点到定点P（1，0）距离的平方，
由图可知，可行域内的动点到定点P（1，0）距离的最小值为P到直线x+y=0的距离，等于$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值为|PB|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（-1-0）^{2}}=\sqrt{10}$．
∴（x-1）²+y²的取值范围是[$\frac{1}{2}$，10]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，10]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．