Question

2．设f（x）=asin2x+bcos2x，a、b∈R，ab≠0，若f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）对一切x∈R恒成立，则
①f（$\frac{11π}{12}$）=0；
②f（$\frac{7π}{10}$）＜f（$\frac{π}{5}$）；
③f（x）是奇函数；
④f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，（k∈Z）
以上结论正确的是①②④．

Answer 1

分析 先将f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，变形为f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+∅），再由f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）对一切x∈R恒成立得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假．

解答 解：①f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+∅），
由f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）对一切x∈R恒成立得f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{b}{2}$，
即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$+$\frac{b}{2}$，
两边平方整理得：a=$\sqrt{3}$b＞0．
∴f（x）=$\sqrt{3}$bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$）．
①f（$\frac{11π}{12}$）=2bsin（$\frac{11π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=0，故①正确；
②由f（$\frac{7π}{10}$）=$2bsin（2×\frac{7π}{10}+\frac{π}{6}）=2bsin$（$π+\frac{17π}{30}$）＜0，
而f（$\frac{π}{5}$）=2bsin（$\frac{17π}{30}$）=2bsin$\frac{17π}{30}$＞0，可得f（$\frac{7π}{10}$）＜f（$\frac{π}{5}$）成立，故②正确．
③f（-x）≠±f（x），所以f（x）为非奇非偶函数，故③错误；
④$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$x∈[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$故④正确；
故答案为：①②④

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，求得f（x）=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$）是难点，也是关键，考查推理分析与运算能力，属于难题．