Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n和为S_n，S₁=-$\frac{1}{4}$，a_n-4S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，证明{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1，结合n≥2时，a_n-4S_nS_n-1=0，可得S_n-S_n-1=4S_nS_n-1，两边同除S_nS_n-1可得结论；
（2）根据（1）可得S_n=$-\frac{1}{4n}$，结合S₁=-$\frac{1}{4}$，n≥2时，a_n-4S_nS_n-1=0，可得数列{a_n}的通项公式．

解答 证明：（1）∵n≥2时，a_n-4S_nS_n-1=0，
∴S_n-S_n-1-4S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1=4S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-4，
又∵S₁=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=-4，
又∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，
∴数列{b_n}是以-4为首项，-4为公差的等差数列；
解：（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-4n，
∴S_n=$-\frac{1}{4n}$；
∵n≥2时，a_n-4S_nS_n-1=0，
∴a_n=4S_nS_n-1=$\frac{1}{4n（n-1）}$，
当n=1时，$\frac{1}{4n（n-1）}$无意义，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}，n=1\\ \frac{1}{4n（n-1）}，n≥2\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的求和与通项，正确运用数列递推式是关键．