Question

1．已知抛物线C：x²=2my（m＞0）的焦点为F，直线y=x-2与x轴的交点Q到F的距离为$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
（1）求m的值；
（2）设P为直线y=x-2上的动点，过P作抛物线C的切线，切点分别为A，B，求△ABP面积的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用直线y=x-2与x轴的交点Q到F的距离为$\frac{\sqrt{17}}{2}$，可得4+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{17}{4}$，结合m＞0，即可求m的值；
（2）设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），求切线PA，切线PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，设直线AB的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x₀=k，y₀=-b，代入y₀=x₀-2得-b=k-1，由两点间距离公式可求|AB|，由点到直线的距离公式可求点P到直线AB的距离d，由三角形面积公式及基本不等式即可得解．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2my（m＞0）的焦点为F（0，$\frac{m}{2}$），
∵直线y=x-2与x轴的交点Q到F的距离为$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴4+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{17}{4}$，
∵m＞0，
∴m=1；
（2）抛物线C：x²=2y，即y=$\frac{1}{2}$x²，∴y′=x，
设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），
则切线PA的方程是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
即y+$\frac{1}{2}$x₁²=x₁x ①，同理切线PB的方程是y+$\frac{1}{2}$x₂²=x₂x  ②
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，显然直线AB存在斜率．
设直线AB的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，即x₀=k，y₀=-b，③
代入y₀=x₀-2得-b=k-2
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8b}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}-8k+16}$
点P到直线AB的距离是d=$\frac{|{k}^{2}-2k+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
△PAB的面积=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$（{k}^{2}-2k+4）^{\frac{3}{2}}$≥3$\sqrt{3}$，
当k=1时△PAB的面积取得最小值3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，两点间距离公式，点到直线距离公式，直线的方程等知识的应用，难度大．