Question

3．设方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0的根分别为x₁、x₂，则（　　）

• A． x₁x₂=1
• B． 0＜x₁x₂＜1
• C． 1＜x₁x₂＜2
• D． x₁x₂≥2

Answer 1

分析 由方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得log₂x=（$\frac{1}{2}$）^x，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=（$\frac{1}{2}$）^x，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论．

解答 解：由方程log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得log₂x=（$\frac{1}{2}$）^x，
log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x=0得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=（$\frac{1}{2}$）^x，
分别画出左右两边函数的图象，如图所示．
由指数与对数函数的图象知：x₁＞1＞x₂＞0，
于是有log₂x₁=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＜$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₂，得x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，所以0＜x₁x₂＜1
故选：B．

点评 本题考查指数、对数函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．