Question

【题目】已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn （n∈N*），且S3+a3 ， S5+a5 ， S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若实数a使得a＞Sn+ 对任意n∈N*恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，

由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得：

2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，

即有4a5=a3，即为q2= ，

解得q=± ，

由等比数列{an}不是递减数列，可得q= ，

即an= ．

（2）由（1）得Sn=1（ ）n=

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=

Sn+ ．

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=

Sn+

∴实数a使得a＞Sn+ 对任意n∈N*恒成立，则a的取值范围为（ ，+∞）

【解析】（1）设等比数列公比为q，再根据S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，列出关系式得出q=,由等比数列为递减数列舍得,得出通项公式；（2）分n为奇数和偶数时，写出Sn，a＞Sn+ 对任意n∈N*恒成立,得到a的取值范围.
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．