Question

【题目】已知函数f(x)＝sin（－x）sin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在（）上的单调性．

Answer 1

【答案】(1)最小正周期π，最大值； (2)见解析

【解析】试题分析：（1）由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，根据三角函数的有界性求得的最大值；（2）根据可得，利用正弦函数的单调性，分类讨论求由， 可求得在上的单调区间.

试题解析：(1)f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x＝cos xsin x－ (1＋cos 2x)

＝sin 2x－cos 2x－＝sin(2x－)－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，从而

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减．