Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a。

（1）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（2）求点D到平面ACC₁的距离；
（3）判断A₁B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）点D是正△ABC中BC边的中点， ∴AD⊥BC， 又A1A⊥底面ABC， ∴A1D⊥BC ， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1。
（2）作DE⊥AC于E， ∵平面ACC1⊥平面ABC， ∴DE⊥平面ACC1于E， 即DE的长为点D到平面ACC1的距离 在Rt△ADC中，AC=2CD=a， ∴所求的距离。
（3）直线A1B//平面ADC1，证明如下： 如图，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点， ∵D是BC的中点， ∴DF∥A1B， 又DF平面ADC1，A1B平面ADC1， ∴A1B∥平面ADC1。