Question

如图，过抛物线x²＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

(1)设点P分有向线段所成的比为λ，证明：⊥(－λ)；

(2)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程x2＝4y得x2－4kx－4m＝0．　　① 　　设A、B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两根． 　　所以x1x2＝－4m． 　　由点P(0，m)分有向线段所成的比为λ， 　　得＝0，即λ＝－． 　　又点Q是点P关于原点的对称点， 　　故点Q的坐标是(0，－m)，从而＝(0，2m)． 　　－λ＝(x1，y1＋m)－λ(x2，y2＋m)＝(x1－λx2，y1－λy2＋(1－λ)m)． 　　·(－λ)＝2m[y1－λy2＋(1－λ)m] 　　　　　　　　　　　＝2m[＋·＋(1＋)n] 　　　　　　　　　　　＝2m(x1＋x2)· 　　　　　　　　　　　＝2m(x1＋x2)·＝0． 　　所以⊥(－λ)． 　　(2)由得A、B的坐标分别是(6，9)、(－4，4)． 　　由x2＝y得y＝x2，＝x， 　　所以抛物线x2＝4y在点A处切线的斜率为|x＝6＝3 　　设圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 　　则 　　解之得a＝－，b＝，r＝(a＋4)2＋(b－4)2＝． 　　所以圆C的方程是(x＋)2＋(y－)2＝， 　　即x2＋y2＋3x－23y＋72＝0．

提示：

注：本题第(2)问用到了导数的有关知识．