Question

（1）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．①求函数f（x）的定义域．②判断函数的奇偶性，并给予证明．
（2）已知函数f（x）=a^x+3，（a＞0且a≠1），求函数f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的形式分别判断．（2）讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求值域．

解答：解：（1）要使函数f（x）有意义，则

1+x＞0 1-x＞0

⇒

x＞-1 x＜1

，所以-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），关于原点对称．
又f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数．
（2）若a＞1，则函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以1+3≤f（x）≤a²+3，即函数的值域为[4，a³+3]．
若0＜a＜1，则函数f（x）在[0，2]上单调递减，所以a²+3≤f（x）≤4，即函数的值域为[a³+3，4]．

点评：本题主要考查对数和指数函数的图象和性质，要注意对底数a进行分类讨论．