Question

已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的定义域为R，命题q：函数y=（

2a-1

3

）^x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数的性质及指数函数的性质，分别求出命题p和q，从而求解；

解答：解：∵命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的定义域为R，
∴x²+2x+a＞0，在x∈R上恒成立，∴△＜0，即4-4a＜0，⇒a＞1，
∵命题q：函数y=（

2a-1

3

）^x是减函数，
∴0 ＜

2a-1

3

＜1，⇒

1

2

＜a＜2，
∵若p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p和q有一个为真命题，
若p为真，q为假；a≥2，
若p为假，q为真，

1

2

＜a≤1，
∴实数a的取值范围：

1

2

＜a≤1或a≥2；

点评：此题主要考查对数函数和指数函数的性质，注意p或q为真命题，p且q为假命题，则有一个为真命题，此题是一道基础题；