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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;
定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
 

(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
分析:(1)先求f′(x)得解析式,再求f″(x),由f″(x)=0 求得拐点的横坐标,代入函数解析式求拐点的纵坐标.
(2)因为f(1+x)+f(1-x)=2f(1),由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称,进行合情推理,可得结论:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(
-b
3a
,f(-
b
3a
)),它就是f(x)的对称中心.
解答:解:(1)依题意,得:f′(x)=3x2-6x+2,∴f″(x)=6x-6.
由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
故答案为:(1,2)
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).
而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2
=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f(1),
由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称.
一般地,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(
-b
3a
,f(-
b
3a
)),它就是f(x)的对称中心.
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数;都对.)
故答案为:任何一个三次函数都有拐点
点评:本题考查一阶导数、二阶导数的求法,函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•昌平区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
1
2
,1)
1
2
,1)

(2)计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•房山区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.
(1).函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为
(1,2)
(1,2)

(2).若函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,则g(
1
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)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•安庆三模)对于三次函数f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设ft(x)是函数y=f(x)的导数,ftt(x)是函数ft的导数,若方程ftt(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点”;且该“拐点”也为该函数的对称中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,则f(
1
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)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=(  )

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