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(2013•安庆三模)对于三次函数f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设ft(x)是函数y=f(x)的导数,ftt(x)是函数ft的导数,若方程ftt(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点”;且该“拐点”也为该函数的对称中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,则f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=(  )
分析:求出原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于0求出x的值,可得f(1-x)+f(x)=2,从而得到f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)的值.
解答:解:由f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,得f(x)=3x2-3x+
1
2

所以f′′(x)=6x-3,由f′′(x)=6x-3=0,得x=
1
2

f(
1
2
)
=1,∴f(x)的对称中心为(
1
2
,1),
∴f(1-x)+f(x)=2,
f(
1
2014
)+f(
2013
2014
)=f(
2
2014
)+f(
2012
2014
)=…=2f(
1007
2014
)=2

∴f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=2013.
故选C.
点评:本题是新定义题,考查了函数导函数的零点的求法,考查了函数的性质,解答的关键是寻找函数值所满足的规律,是中档题.
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3
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3
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2
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PF1
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