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(2013•房山区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012
分析:根据函数f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函数f(x)的对称中心.由于函数的对称中心为(
1
2
,1),可知f(x)+f(1-x)=2,由此能够求出所给的式子的值.
解答:解:∵f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则 f′(x)=x2-x+
1
6
,f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,求得x=
1
2

故函数y=f(x)的“拐点”为(
1
2
,1).
由于函数的对称中心为(
1
2
,1),
∴f(x)+f(1-x)=2,
f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=2×1006=2012,
故答案为 (
1
2
,1),2012.
点评:本小题主要考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算能力,求函数的值以及函数的对称性的应用,属于中档题.
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xa
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