Question

【题目】已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）若h（x）的单调减区间是（ ，1），求实数a的值；
（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设h（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1∈（0， ）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则

要使h（x）的单调减区间是 则 ，解得a=3；

另一方面当a=3时 ，

由h'（x）＜0解得 ，即h（x）的单调减区间是 ．

综上所述a=3

（2）解：由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），

∴ ．

设 ，则 ，

∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．

∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；

当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．

∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]

（3）解：由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则

∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且

又∵ ，

∴ ，且

设 ，则 ，

∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，

∴ ，即h（x1）﹣h（x2） ，

∴ ，

则m的最大值为 ．

【解析】（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（ ，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．