Question

已知函数f(x)=

x-c

x+1

，其中c为常数，且函数f（x）图象过原点．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；
（3）已知函数g(x)=f(ex)-

1

3

，求函数g（x）的零点．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）图象过原点，即f（0）=0，解得 c的值．
（2）设0≤x₁＜x₂≤2，化简f（x₁）-f（x₂） 的解析式为-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

＜0，得f（x₁）＜f（x₂ ），从而证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数．
（3）令函数g(x)=f(ex)-

1

3

=0，求出x的值，即为函数的零点．

解答：解：（1）∵函数f（x）图象过原点，∴f（0）=0，解得 c=0，故函数f（x）=

x

x+1

．
（2）证明：设0≤x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数．
（3）令g(x)=f(ex)-

1

3

=

ex

ex+1

-

1

3

=0，
∴ex=

1

2

，即x=ln

1

2

=-ln2，
即函数g（x）的零点为 x=-ln2．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数零点的定义、求函数零点的方法，属于基础题．