Question

等差数列{a_n}中，前n项和S_n=

n

m

，前m项和S_m=

m

n

（m≠n），则S_m+n（　　）

• A、小于4
• B、等于4
• C、大于4
• D、大于2且小于4

Answer 1

分析：分别利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n，S_m及S_m+n，然后将S_n=

n

m

和S_m=

m

n

的值代入S_m+n，化简后，根据m，n为正整数且m不等于n，取最小m=1，n=2，求出此时公差d的值，即可得到S_m+n的最小值，求出的最小值大于4，得到正确答案．

解答：解：设等差数列的公差为d，
则S_n=

n(a1+an)

2

=

n[2a1+(n-1)d]

2

=

n

m

，
同理S_m=

m[2a1+(m-1)d]

2

=

m

n

，
则S_m+n=

(m+n)[2a1+(m+n-1)d]

2

=

m[2a1+(m+n-1)d]

2

+

n[2a1+(m+n-1)d]

2

=

n[2a1+(n-1)d]

2

+

mnd

2

+

m[2a1+(m-1)d]

2

+

mnd

2

=

n

m

+

m

n

+mnd，
因为m，n为正整数，且m≠n，令n＞m，m=1，n=2，
将m=1，n=2代入S_n中得到2a₁+d=2；代入S_m中得到a₁=

1

2

，
解得d=1，
则S_m+n≥2+

1

2

+2=

9

2

＞4．
故选C

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．