Question

（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=

x-a

(x-1)2

，x∈（1，+∞）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[2，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），令f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．由x＞1，分2a-1≤1，2a-1＞1两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函数的单调区间；
（Ⅱ）分情况进行讨论：a≤1时，由（Ⅰ）知f（x）在[2，+∞）上单调递减，无最小值；当a＞1时，再按2a-1≤2，2a-1＞2讨论，结合其图象及函数单调性可得函数最小值情况；

解答：解：（I）f′(x)=

(x-1)(-x+2a-1)

(x-1)4

，x∈（1，+∞）．
由f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．
①当2a-1≤1，即a≤1时，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
②当2a-1＞1，即a＞1时，在（1，2a-1）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，在（2a-1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述：a≤1时，f（x）的减区间为（1，+∞）； a＞1时，f（x）的增区间为（1，2a-1），f（x）的减区间为（2a-1，+∞）．
（II）（1）当a≤1时，
由（I）知f（x）在[2，+∞）上单调递减，不存在最小值；
（2）当a＞1时，
若2a-1≤2，即a≤

3

2

时，f（x）在[2，+∞）上单调递减，不存在最小值；
若2a-1＞2，即a＞

3

2

时，f（x）在[2，2a-1）上单调递增，在（2a-1，+∞）上单调递减，
因为f(2a-1)=

a-1

(2a-2)2

＞0，且当x＞2a-1时，x-a＞a-1＞0，所以x≥2a-1时，f（x）＞0．
又因为f（2）=2-a，所以当2-a≤0，即a≥2时，f（x）有最小值2-a；2-a＞0，即

3

2

＜a＜2时，f（x）没有最小值．
综上所述：当a≥2时，f（x）有最小值2-a；当a＜2时，f（x）没有最小值．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生运用知识解决问题的能力．