Question

20．已知函数f（x）=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$，其中a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）记函数g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$，若g（x）在区间[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据导数和极值的关系即可求出；
（2）先求导，再构造函数，得到h（x）=ax²-2x+（3a-2）≤0在[1，4]上恒成立，根据方程根的关系即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）：当a=1时，f（x）=-lnx+x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=2，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x=2时，函数f（x）有极小值，即为f（1）=3，无极大值；
（2）函数g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$
=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$=-2lnx+ax-$\frac{3a+2}{x}$，
∴g′（x）=-$\frac{2}{x}$+a+$\frac{3a+2}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+（3a-2）}{{x}^{2}}$，
设h（x）=ax²-2x+（3a-2）
∵g（x）在区间[1，4]上单调递减，
∴h（x）≤0，在[1，4]上恒成立，
当a=0时，h（x）=-2x-2＜0在[1，4]上恒成立，满足题意，
当a≠0时，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a（3a-2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{h（1）≤0}\\{h（4）≤0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4a-4≤0}\\{19a-10≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{1}{3}$或0＜a≤$\frac{10}{19}$，
综上所述a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{3}$]∪[0，$\frac{10}{19}$]

点评 本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，以及函数与方程根的关系，考查了转化思想，以及分类讨论的思想，属于中档题．