Question

11．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），点P是C上的动点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{2}$．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．
（2）由（1）可得圆C的圆心C（3，0），半径r=3．直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{2}$，展开为：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=-$\frac{3}{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d．可得点P到直线l的距离的最大值=d+r=6．

解答 解：（1）由曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：（x-3）²+y²=9．
（2）由（1）可得圆C的圆心C（3，0），半径r=3．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{2}$，展开为：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=-$\frac{3}{2}$，
可得：x+$\sqrt{3}$y+3=0．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|3+0+3|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=3．
∴点P到直线l的距离的最大值=d+r=6．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．