Question

3．函数f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$是（　　）

• A． 非奇非偶函数
• B． 既不是奇函数，又不是偶函数奇函数
• C． 偶函数
• D． 奇函数

Answer 1

分析 先化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，作出判断．

解答 解：∵函数f（x）的定义域为R，
且f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$=$\frac{（\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1）（\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1））}{（\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1）（\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1））}$=$\frac{（\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1）（\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1））}{（\sqrt{1+{x}^{2}}）^{2}-（x+1）^{2}}$
=-$\frac{1-\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，
∴f（-x）=-$\frac{1-\sqrt{1+{x}^{2}}}{-x}$=$\frac{1-\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，
故有-f（x）=$\frac{1-\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，
∴f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的定义和判定方法，恒等变形是解题的关键，属于中档题．