Question

13．（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N⁺，则a₁=1
（2）设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若a₁=1且3S₁，2S₂，S₃成等差数列，则a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 （1）利用数列{a_n}的前n项和为S_n与通项公式a_n的关系列出方程组，能求出首项a₁．
（2）利用等比数列{a_n}的前n项和及等差数列性质列出方程求出公比，由此能求出a_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N⁺，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=4}\\{{a}_{2}=2{S}_{1}+1=2{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，
解得a₁=1．
故答案为：1．
（2）设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，
∵a₁=1且3S₁，2S₂，S₃成等差数列，
∴4S₂=3S₁+S₃，即4（1+q）=3+$\frac{1-{q}^{3}}{1-q}$，
解得q=3，或q=0（舍），
a_n=3^n-1．
故答案为：3^n-1．

点评 本题考查数列的首项的求法，考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的通项与前n项和公式的关系、等比数列等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．