Question

12．各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=10，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$（n=3，4，5，…），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，得$lg{a}_{n}-lg{a}_{n-1}=\frac{1}{2}（lg{a}_{n-1}-lg{a}_{n-2}）$，令b_n=lga_n+1-lga_n，得数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求其通项公式再由累积法求数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，得$lg{a}_{n}-lg{a}_{n-1}=\frac{1}{2}（lg{a}_{n-1}-lg{a}_{n-2}）$，
令b_n=lga_n+1-lga_n，则b₁=lga₂-lga₁=lg10-lg1=1，
${b}_{n-1}=\frac{1}{2}{b}_{n-2}$（n=3，4，5，…），
∴数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${b}_{n}=lg{a}_{n+1}-lg{a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$（n=1，2，3，…）．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
由累乘法得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=10×1{0}^{\frac{1}{2}}×1{0}^{\frac{1}{4}}×…×1{0}^{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=$1{0}^{2[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}$．
∴a_n=$1{0}^{2[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．