Question

7．设函数f（x）=lnx+（x-a）²-$\frac{a}{2}$，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，若函数f（x）单调递增，则不等式2x²-2ax+1≥0，即2a≤（2x+$\frac{1}{x}$）_min，由基本不等式即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）对f（x）进行求导，可以设出h（x）=2x²-2ax+1，对a进行讨论：a≤0或a＞0两种情况，利用导数研究函数的极值问题．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+（x-a）²-$\frac{a}{2}$，
f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，
依题意得，函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
则在区间[$\frac{1}{2}$，2]上不等式2x²-2ax+1≥0恒成立．
又因为x＞0，所以2a≤（2x+$\frac{1}{x}$）_min．
由2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$取等号．
所以2a≤2$\sqrt{2}$，即a≤$\sqrt{2}$，
所以实数a的取值范围是（-∞，$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，
令h（x）=2x²-2ax+1，
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f′（x）＞0，
此时，函数f（x）没有极值点；                                
②当a＞0时，
（ⅰ）当△≤0，即4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$时，在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，这时f′（x）≥0，
此时，函数f（x）没有极值点；           
（ⅱ）当△＞0，即a＞$\sqrt{2}$时，
易知，当$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，h（x）＜0，这时f′（x）＜0；
当0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0；
所以，当a＞$\sqrt{2}$时，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．
综上，当a≤$\sqrt{2}$时，函数f（x）没有极值点；
当a＞$\sqrt{2}$时，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和极值点，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．