Question

2．在锐角△ABC中，∠C=2∠B，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 先利用锐角三角形的性质求得30°＜B＜45°，利用正弦定理列出关系式，化简可得$\frac{a}{b}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=3-4sin²B，根据sinB的范围，即可求出所求式子的范围．

解答 解：锐角△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，
当C为最大角时，由∠C＜90°，∴∠B＜45°，
当∠A为最大角时，由∠A＜90°，∠B+∠C＞90°，∴∠B＞30°，∴30°＜B＜45°．
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°．
由正弦定理可得$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin（180°-3B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{3sinB-{4sin}^{3}B}{sinB}$=3-4sin²B，
∵sinB∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴sin²B∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），∴3-4sin²B∈（1，2），即$\frac{a}{b}$∈（1，2），
故答案为：（ 1，2）．

点评 本题主要考查正弦定理和二倍角公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，属于中档题．