Question

6．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂=6，a₃+a₄=72．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n-n（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和${S}_{{n}_{\;}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，根据条件即可求出公比，问题得以解决，
（Ⅱ）根据等比数列和等差数列的前n项和公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂=6，a₃+a₄=72，
∴6q+6q²=72，
即q²+q-12=0，
解得q=3或q=-4，
∵a_n＞0，
∴q＞0，
∴q=3，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1（n∈N*）；
（Ⅱ）∵b_n=2×3^n-1-n，
∴S_n=2（1+3²+3³+…+3^n-1-（1+2+3+…+n）=2×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ-1-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

点评 本题考查了等比数列和等比数列和等差数列的前n项和，属于基础题