Question

17．当x∈（0，3）时，关于x的不等式e^x-x-2mx＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{e-1}{2}$）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，e+1）
• D． （e+1，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得2m+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，3）的最小值，求出f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数和单调区间，可得f（x）的最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：当x∈（0，3）时，关于x的不等式e^x-x-2mx＞0恒成立，
即为2m+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，3）的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）在x=1处取得最小值e，
即有2m+1＜e，
可得m＜$\frac{e-1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求出单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．