Question

7．为了调查高中学生是否喜欢数学与性别的关系，随机抽查男、女学生各 40 名，得到具体数据如表：

是否喜欢数学	是	否	合计
男生	30	10	40
女生	20	20	40
合计	50	30	80

（I）根据上面的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下，认为是否喜欢数学与性别有关？
（II）计算这 80 位学生不喜欢数学的频率；（III）用分层抽样的方法从不喜欢数学的男女学生中抽查 6 人进行数学问卷调查，再从中抽取 4 份问卷递交校长办，求至少抽出 3 名女生问卷的概率．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0[来源：]	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）根据列联表计算K²的观测值，对照临界值即可得出结论；
（II）根据概率公式计算这 80 位学生不喜欢数学的频率值；
（III）根据分层抽样原理计算抽取的男生、女生人数，以及对应基本事件数，再求概率值．

解答 解：（I）根据列联表，计算K²的观测值为：
$k=\frac{{80×{{（30×20-20×10）}^2}}}{50×30×40×40}=\frac{16}{3}≈5.333＞5.024$，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为“喜欢数学与性别有关”；
（II）根据概率公式，计算这 80 位学生不喜欢数学的频率为
P=$\frac{10+20}{80}$=$\frac{3}{8}$；
（III）根据分层抽样原理，从不喜欢数学的男女学生中抽查 6 人，
男生6×$\frac{10}{30}$=2人，女生是6-2=4人，
再从这6人中抽取 4 份问卷，基本事件数是${C}_{6}^{4}$=15，
至少抽出 3 名女生问卷的事件数是${C}_{4}^{3}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{4}^{4}$=9，
故所求的概率为P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验与古典概型的概率计算问题，是基础题．