Question

19．设F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．若此双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率，求出a的值，结合双曲线的定义进行转化求解即可．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的离心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+2}{{a}^{2}}=\frac{3}{2}$，∴a=2，c=$\sqrt{6}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则|m-n|=2a=4，
则由余弦定理可得24=m²+n²-mn，∴24=（m-n）²+mn=16+mn，
即mn=8．
则（m+n）²=（m-n）²+4mn=4a²+4mn=16+4×8=48，
则m+n=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，根据双曲线的离心率求出a的值，结合双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．