Question

14．已知等边△ABC的高为3，点P和点M是平面ABC内的动点，且|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，建立坐标系，求出P的轨迹方程，M的轨迹方程，然后利用方程求解|$\overrightarrow{BM}$|的最小值．

解答 解：由等边△ABC的高为3，可得△ABC为边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，
如图建立平面坐标系，A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1得点P的轨迹方程为x²+（y-3）²=1①，
设M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$得P（2x₀-$\sqrt{3}$，2y₀），
代入①式得M的轨迹方程为（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
记圆心为N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则|$\overrightarrow{BM}$|的最小值为|BN|-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$
=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，曲线与方程的关系，几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题．