Question

5．已知圆C₁：x²+y²+6x=0关于直线l₁：y=2x+1对称的圆为C
（1）求圆C的方程；
（2）过点（-1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化圆C₁的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线l₁的对称点，则圆C的方程可求；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|=$|\overrightarrow{BA|}$，得四边形OASB为矩形，则OA⊥OB，当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=-1，求出A，B的坐标，满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），联立直线方程与圆方程，利用根与系数的关系结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求得k值，则直线方程可求．

解答 解：（1）圆C₁：x²+y²+6x=0化为标准方程为（x+3）²+y²=9，
设圆C₁的圆心C₁（-3，0）关于直线l₁：y=2x+1的对称点为C（a，b），
则${k}_{{C}_{1}C}•{k}_{1}=-1$，且CC₁的中点M（$\frac{a-3}{2}$，$\frac{b}{2}$）在直线l₁：y=2x+1上．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+3}×2=-1}\\{（a-3）-\frac{b}{2}+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）如图：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|=$|\overrightarrow{BA|}$，得四边形OASB为矩形，∴OA⊥OB，
必须使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=-1，
与圆C：（x-1）²+（y+2）²=9交于两点A（-1，$\sqrt{5}-2$），B（-1，$-\sqrt{5}-2$）．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（-1）×（-1）+（\sqrt{5}-2）×（-\sqrt{5}-2）=0$，
∴OA⊥OB，
∴当直线的斜率不存在时，直线l：x=-1满足条件；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²+4k-2）x+k²+4k-4=0，
由于点（-1，0），在圆C内部，∴△＞0恒成立，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0，得$\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）=0$，
整理得$（1+{k}^{2}）\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}-{k}^{2}•\frac{{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}=0$，
解得k=1，∴直线方程为y=x+1，
∴存在直线x=-1和y=x+1，它们与圆C交A，B两点，且|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．