Question

17．如图，椭圆C：x²+3y²=3b²（b＞0）
（Ⅰ）若长轴长与短轴长的差为4$\sqrt{3}$-4，求椭圆方程
（Ⅱ）若b=1，A，B是椭圆C上的两点，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化椭圆方程为标准方程，求出长轴长与短轴长，结合已知求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）分AB所在直线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，直接求出面积；当斜率不垂直时，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出面积，利用配方法可求最值，从而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由x²+3y²=3b² ，得$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴椭圆的长轴长为$2\sqrt{3}b$，短轴长为2b，
∴$2\sqrt{3}b-2b=4\sqrt{3}-4$，
则b=2，a=$4\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{48}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）当b=1时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此时S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{3}=\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
由△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）=48-12m²＞0，
得-2＜m＜2．
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}=\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，①
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，②
结合①，②得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原点O到直线AB的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}$$（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}$+$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
故S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=2，即k=±1时上式取等号．
又$\frac{\sqrt{3}}{2}＞\frac{3}{4}$，故S_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．